მათემატიკა

"Mathematics is the most beautiful and most powerful creation of the human spirit"
-Stefan Banach

ალგებრა

ხარისხები:

$a^{0} = 1 a \neq 0$

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

$(a^{m})^{n} = a^{m n}$

$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები:

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

$(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

$(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} + a b - b^{2})$

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$

$(a + b + c) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a$

$(a - b - c) = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b + 2 b c - 2 c a$

პროპორციები:

ვთქვათ მოცემულია a:b=c:d მაშინ ad=bc; d:b=c:a; a:c=b:d; d:c=b:a;
$\frac{a \pm b}{b} = \frac{a \pm d}{d}; \frac{a \pm b}{a} = \frac{c \pm d}{c}; \frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d}$

კვადრატული განტოლება:

$a x^{2} + b x + c = 0$
$D = b^{2} - 4 a c$
$x_{1; 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$
$x_{1} \cdot x_{2} = c$
$x_{1} + x_{2} = - b$

პროცენტები:

a რიცხვის p% უდრის $\frac{a \cdot p}{100}$ ; მოცემული რიცხვის რაიმე პროცენტის პოვნა.

თუ უცნობი $x$ რიცხვი p% არის a, მაშინ $x = \frac{100 a}{p}$ ; რიცხვის პოვნა მისი რაიმე ცნობილი პროცენტის საშუალებით.

a რიცხვის b-სთან შეფარდების პროცენტი $\frac{a}{b} \cdot 100$ %-ის ტოლია. ორი რიცხვის პროცენტული ფარდობის პოვნა.

რთული პროცენტი: $p = a (1 + 0, 01 x)^{n}$ (ზრდა); $p = a (1 - 0, 01 x)^{n}$ (კლება)

პროგრესიები:

არითმეტიკული პროგრესია:
$a_{1}$ - პირველი წევრი;
d - სხვაობა;
n - წევრთა რიცხვი;
$a_{n}$ - მე-n(ზოგადი) წევრი;
$S_{n}$ - პირველი n წევრის ჯამი
$d = a_{n + 1} - a_{n}$
$a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$
$n = \frac{a_{n} - a_{1}}{d} + 1$
$a_{n + 1} = \frac{a_{n} + a_{n + 2}}{2}$
$S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}$
$S_{n} = \frac{n (2 a_{1} + d (n - 1))}{2}$
$S_{n} = (\frac{a_{1} + a_{n}}{2}) \cdot (\frac{a_{n} - a_{1}}{d} + 1)$

გეომეტრიული პროგრესია:
$b_{1}$ - პირველი წევრი;
q - მნიშვნელი;
n - წევრთა რიცხვი;
$b_{n}$ - მე-n(ზოგადი) წევრი;
$S_{n}$ - პირველი n წევრის ჯამი;
$b_{n + 1} = b_{n}^{2} + 2$
$q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}$
$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$
$S_{n} = \frac{b_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1} q \neq 1$
$S_{n} = \frac{b_{1} (q^{2} - 1)}{q - 1}$
$S_{n} = \frac{b_{n} q - b_{1}}{q - 1}$

ლოგარითმები:

$a^{\log_{a} x} = x$

$\log_{a} a = 1$

$\log_{n} 1 = 0$

$\log_{a^{n}} b^{n} = \log_{a} b$

$\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}$

$\log_{a^{n}} b = \frac{1}{n} \log_{a} b$

$\log_{a} b^{2} = 2 \log_{a} b$

$\log_{a} x + \log_{a} y = \log_{a} x y$

$\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a} \frac{x}{y}$

ჯუფთება და წყობა:

$C_{n}^{m} = \frac{n!}{m! (n - m)!}$

$A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!}$

მოდულები:

$| a | = {\begin{cases} a თ უ a > 0 \\ - a თ უ a < 0 \end{cases}$

ტრიგონომეტრია

$t a n ϕ = \frac{\sin ϕ}{c o s ϕ}$

$c o t ϕ = \frac{\cos ϕ}{s i n ϕ}$

$s i n (- ϕ) = - \sin ϕ$

$\cos (- ϕ) = \cos ϕ$

$\tan (- ϕ) = - \tan ϕ$

$\cot (- ϕ) = - \cot ϕ$

$\cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β$

$\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \sin β \cos α$

$\tan (α \pm β) = \frac{\tan α \pm \tan β}{1 \mp \tan α \tan β}$

$\sin 2 α = 2 \sin α \cos α$

$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$
... $= 2 \cos^{2} α - 1$
... $= 1 - 2 \sin^{2} α$

$\tan 2 α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α}$

$\sin ϕ = y ϕ = (- 1)^{k} \arcsin y + π k k \in Z$

$\cos ϕ = y ϕ = \pm \arccos y + 2 π k k \in Z$

$\tan ϕ = y ϕ = \arctan y + π k k \in Z$

$\cot ϕ = y ϕ = a r c c o t y + 2 π k k \in Z$

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

$\tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} + 1$

$\cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} + 1$

გეომეტრია

სამკუთხედი

$S = \frac{h \cdot c}{2}$
$S = \frac{b c \cdot \sin α}{2}$
$S = \sqrt{\frac{P}{2} (\frac{P}{2} - a) (\frac{P}{2} - b) (\frac{P}{2} - c)}$

სინუსების თეორემა:
$\frac{C B}{\sin α} = \frac{A C}{\sin β} = \frac{A B}{\sin γ}$
კოსინუსების თეორემა:
$a^{2} = c^{2} + b^{2} - 2 c b \cos α$

ჩავთვალოთ, რომ h მედიანაა:
$h = \frac{\sqrt{2 (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}}{2}$

საკმუთხედების მსგავსების ნიშნები

● შესაბამისი კუთხეების 2 წყვილი ერთმანეთის ტოლია.

● შესაბამისი გვერდების 3 წყვილი პროპორციულია.

● შესაბამისი გვერდების 2 წყვილი პროპორციულია და მათ შორის შესაბამისი კუთხეები ტოლია.

მართკუთხა სამკუთხედი

$S = \frac{a \cdot b}{2}$ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$
$\sin α = \frac{a}{c}$ $\cos α = \frac{b}{c}$
$\tan α = \frac{a}{b}$ $\cot α = \frac{b}{a}$

⚬ ჰიპოტენუზაზე დაშვებული მედიანა, ჰიპოტენუზის ნახევარია.

ტრაპეცია

$S = \frac{h (a + b)}{2}$
$S = h m ∵ \frac{a + b}{2} = m$

პარალელოგრამი

$S = h \cdot b$

მართკუთხა პრიზმა

$V = l \cdot w \cdot h$
$S_{ზ ე დ .} = 2 l w + 2 l h + 2 w h$

რომბი

$S = \frac{A B \cdot C D}{2}$

სამკუთხა პრიზმა

$V = \frac{b \cdot h \cdot l}{2}$
$S_{ზ ე დ .} = h b + l (P_{ს ა მ კ .})$

ცილინდრი

$V = π r^{2} h$
$S_{ზ ე დ .} = 2 π r h + 2 π r^{2}$

პირამიდა

$V = \frac{l \cdot w \cdot h}{3}$
$S_{ზ ე დ .} = l \cdot w$

სფერო(ბირთვი)

$V = \frac{4 π r^{3}}{3}$
$S_{ს რ . ზ ე დ .} = 4 π r^{2}$

წრეწირები

◈ $S_{წ რ .} = π R^{2}$
$l_{წ რ .} = 2 π R$

● წესიერ მრავალკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი გამოითვლება ფორმულით(სადაც $a_{n}$ მრავალკუთხედის გვერდია.(n – გვერდების რაოდენობა)):

$R = \frac{a_{n}}{2 \sin \frac{180^{\circ}}{n}}$

$a_{n} = 2 R \cdot \sin \frac{180^{\circ}}{n}$

● წესიერ n-კუთხედზე ჩახაზული წრეწირის რადიუსი გამოითვლება ფორმულით:

$r = \frac{a_{n}}{2 \tan \frac{180^{\circ}}{n}}$

$a_{n} = 2 r \cdot \tan \frac{180^{\circ}}{n}$

$\overset{⌣}{A B} = ⌞ A O B = α$
$S_{წ რ . ს ე ქ .} = \frac{π R^{2}}{360^{\circ}} \cdot α$
$l_{\overset{⌣}{A B}} = \frac{π R}{180^{\circ}} \cdot α$

$α = \frac{\overset{⌣}{A C}}{2}$

$⌞ A B C = \frac{\overset{⌣}{B C}}{2}$

$⌞ B A C = \frac{\overset{⌣}{B D} - \overset{⌣}{B C}}{2}$

$⌞ B A C = \frac{\overset{⌣}{D F} - \overset{⌣}{B C}}{2}$

$⌞ B A C = \frac{\overset{⌣}{B D C} - \overset{⌣}{B C}}{2}$

$α = \frac{\overset{⌣}{A C} + \overset{⌣}{D F}}{2}$

$R = 2 r$
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ $R = \frac{a^{3}}{4 S}$
$r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ $r = \frac{2 S}{P}$

$R = \frac{a}{\sqrt{2}}$
$r = \frac{a}{2}$

ვექტორები

● ვექტორების სკალარული ნამრავლი:
$| \vec{a} | | \vec{b} | \cos α$
$x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

● ვექტორის სიგრძე:
$\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$

● ორ ვექტორს შორის მანძილის გამოსათვლელი ფორმულა:
$\sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}}$

● ვექტორების ჯამი/სხვაობა:
$\vec{a} = (x_{1}; y_{1}) \vec{b} = (x_{2}; y_{2})$
$\vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2})$
$\vec{a} - \vec{b} = (x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2})$

● მოცემული წერტილებიდან ვექტორის კოორდინატების დადგენა:
$A (x_{1}; y_{1}) B (x_{2}; y_{2})$
$\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})$
$\vec{B A} = (x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2})$