მათემატიკა

"Mathematics is the most beautiful and most powerful creation of the human spirit"
-Stefan Banach

ალგებრა

ხარისხები:

\(a^0 = 1 \quad a \neq 0\)

\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)

\((a^m)^n = a^{mn}\)

\((\dfrac{a}{b})^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)

\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)

\(a^m : a^n = a^{m-n}\)

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\((a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)\)

\((a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + ab - b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

\((x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab\)

\((a + b + c) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)

\((a - b - c) = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca\)

პროპორციები:

ვთქვათ მოცემულია a:b=c:d მაშინ ad=bc; d:b=c:a; a:c=b:d; d:c=b:a;
\(\dfrac{a \pm b}{b} = \dfrac{a \pm d}{d}; \quad \dfrac{a \pm b}{a} = \dfrac{c \pm d}{c}; \quad \dfrac{a + b}{a - b} = \dfrac{c + d}{c - d}\)

კვადრატული განტოლება:

\(a\textcolor{red}{x}^2 + b\textcolor{red}{x} + c = 0\)
\(D = b^2 - 4ac\)
\(\textcolor{red}{x}_{1;2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(\textcolor{red}{x}_1 \cdot \textcolor{red}{x}_2 = c\)
\(\textcolor{red}{x}_1 + \textcolor{red}{x}_2 = -b\)

პროცენტები:

a რიცხვის p% უდრის \(\dfrac{a \cdot p}{100}\); მოცემული რიცხვის რაიმე პროცენტის პოვნა.

თუ უცნობი \(x\) რიცხვი p% არის a, მაშინ \(x = \dfrac{100a}{p}\); რიცხვის პოვნა მისი რაიმე ცნობილი პროცენტის საშუალებით.

a რიცხვის b-სთან შეფარდების პროცენტი \(\dfrac{a}{b} \cdot 100\)%-ის ტოლია. ორი რიცხვის პროცენტული ფარდობის პოვნა.

რთული პროცენტი: \(p = a(1+0,01x)^n\)(ზრდა); \(p = a(1-0,01x)^n\)(კლება)

პროგრესიები:

არითმეტიკული პროგრესია:
\(a_1\) - პირველი წევრი;
d - სხვაობა;
n - წევრთა რიცხვი;
\(a_n\) - მე-n(ზოგადი) წევრი;
\(S_n\) - პირველი n წევრის ჯამი
\(d = a_{n+1} - a_n\)
\(a_n = a_1 + d(n-1)\)
\(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\)
\(a_{n+1} = \dfrac{a_n + a_{n + 2}}{2}\)
\( S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}\)
\(S_n = \dfrac{n(2a_1 + d(n - 1))}{2}\)
\(S_n = (\dfrac{a_1 + a_n}{2}) \cdot (\dfrac{a_n - a_1}{d} + 1)\)

გეომეტრიული პროგრესია:
\(b_1\) - პირველი წევრი;
q - მნიშვნელი;
n - წევრთა რიცხვი;
\(b_n\) - მე-n(ზოგადი) წევრი;
\(S_n\) - პირველი n წევრის ჯამი;
\(b_{n + 1} = b^2_n + 2\)
\(q = \dfrac{b_n + 1}{b_n}\)
\(b_n = b_1 \cdot q^{n - 1}\)
\( S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q -1} \qquad q\neq 1\)
\(S_n = \dfrac{b_1(q^2 - 1)}{q - 1}\)
\(S_n = \dfrac{b_nq - b_1}{q - 1}\)

ლოგარითმები:

\(a^{\log_a x} = x\)

\(\log_a a = 1\)

\(\log_n 1 = 0\)

\(\log_{a^n} b^n = \log_a b\)

\(\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\)

\(\log_{a^n} b = \frac{1}{n}\log_a b\)

\(\log_a b^2 = 2\log_a b\)

\(\log_a x + \log_a y = \log_a xy\)

\(\log_a x - \log_a y = \log_a \dfrac{x}{y}\)

ჯუფთება და წყობა:

\(C^{\small m}_{\small n} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)

\(A^{\small m}_{\small n} = \dfrac{n!}{(n-m)!}\)

მოდულები:

\(|a| = \begin{cases} a \; თუ \; a>0 \\ -a \; თუ \; a < 0 \end{cases}\)

ტრიგონომეტრია

\(tan\phi = \dfrac{\sin\phi}{cos\phi}\)

\(cot\phi = \dfrac{\cos\phi}{sin\phi}\)

\(sin(-\phi) = -\sin\phi\)

\(\cos(-\phi) = \cos\phi\)

\(\tan(-\phi) = -\tan\phi\)

\(\cot(-\phi) = -\cot\phi\)

\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta\)

\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \sin\beta\cos\alpha\)

\(\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}\)

\(\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)

\(\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\)
... \(= 2\cos^2\alpha - 1\)
... \(= 1 - 2\sin^2\alpha\)

\(\tan2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}\)

\(\sin\phi = y \qquad \phi = (-1)^k\arcsin y + \pi k \qquad k\in \mathbb{Z}\)

\(\cos\phi = y \qquad \phi = \pm\arccos y + 2\pi k \qquad k\in \mathbb{Z}\)

\(\tan\phi = y \qquad \phi = \arctan y + \pi k \qquad k\in \mathbb{Z}\)

\(\cot\phi = y \qquad \phi = \mathop{arccot} y + 2\pi k \qquad k\in \mathbb{Z}\)

\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)

\(\tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} + 1\)

\(\cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha} + 1\)

გეომეტრია

სამკუთხედი

\(S = \dfrac{h \cdot c}{2}\)
\(S = \dfrac{bc \cdot \sin\alpha}{2}\)
\(S = \sqrt{\frac{P}{2}(\frac{P}{2} - a)(\frac{P}{2} - b)(\frac{P}{2} - c) }\)

სინუსების თეორემა:
\(\dfrac{CB}{\sin\alpha} = \dfrac{AC}{\sin\beta} = \dfrac{AB}{\sin\gamma}\)
კოსინუსების თეორემა:
\(a^2 = c^2 + b^2 - 2cb\cos\alpha\)

ჩავთვალოთ, რომ h მედიანაა:
\(h = \dfrac{\sqrt{2(a^2 + b^2) - c^2}}{2}\)

საკმუთხედების მსგავსების ნიშნები

● შესაბამისი კუთხეების 2 წყვილი ერთმანეთის ტოლია.

● შესაბამისი გვერდების 3 წყვილი პროპორციულია.

● შესაბამისი გვერდების 2 წყვილი პროპორციულია და მათ შორის შესაბამისი კუთხეები ტოლია.

მართკუთხა სამკუთხედი

\(S = \dfrac{a \cdot b}{2}\) \(c^2=a^2+b^2\)
\(\sin\alpha = \dfrac{a}{c}\) \(\cos\alpha = \dfrac{b}{c}\)
\(\tan\alpha = \dfrac{a}{b}\) \(\cot\alpha = \dfrac{b}{a}\)

⚬ ჰიპოტენუზაზე დაშვებული მედიანა, ჰიპოტენუზის ნახევარია.

ტრაპეცია

\(S = \dfrac{h(a + b)}{2}\)
\(S = hm \quad ∵ \quad \dfrac{a+b}{2} = m\)

პარალელოგრამი

\(S = h \cdot b\)

მართკუთხა პრიზმა

\( V = l \cdot w \cdot h\)
\(S_{ზედ.} = 2lw + 2lh +2wh\)

რომბი

\(S = \dfrac{AB \cdot CD}{2}\)

სამკუთხა პრიზმა

\( V = \dfrac{b \cdot h \cdot l}{2}\)
\(S_{ზედ.} = hb + l(P_{სამკ.})\)

ცილინდრი

\( V = \pi r^2h\)
\(S_{ზედ.} = 2 \pi rh + 2 \pi r^2\)

პირამიდა

\( V = \dfrac{l \cdot w \cdot h}{3}\)
\(S_{ზედ.} = l \cdot w\)

სფერო(ბირთვი)

\( V = \dfrac{4\pi r^3}{3}\)
\( S_{სრ.ზედ.} = 4\pi r^2\)

წრეწირები

◈ \(S_{წრ.} = \pi R^2\)
\(l_{წრ.} = 2\pi R\)

● წესიერ მრავალკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი გამოითვლება ფორმულით(სადაც \(a_n\) მრავალკუთხედის გვერდია.(n – გვერდების რაოდენობა)):

\(R = \dfrac{a_n}{2 \sin{\dfrac{180^\circ}{n}}}\)

\(a_n = 2R \cdot \sin{{\dfrac{180^\circ}{n}}}\)

● წესიერ n-კუთხედზე ჩახაზული წრეწირის რადიუსი გამოითვლება ფორმულით:

\(r = \dfrac{a_n}{2 \tan{\dfrac{180^\circ}{n}}}\)

\(a_n = 2r \cdot \tan{\dfrac{180^\circ}{n}}\)

\(\overset{\huge\smile}{AB}={\huge\llcorner} AOB = \alpha\)
\(S_{წრ.სექ.} = \dfrac{\pi R^2}{360^\circ} \cdot \alpha\)
\(l_{\overset{\huge\smile}{AB}} = \dfrac{\pi R}{180^\circ} \cdot \alpha\)

\(\alpha = \dfrac{\overset{\huge\smile}{AC}}{2}\)

\({\huge\llcorner}ABC = \dfrac{\overset{\huge\smile}{BC}}{2}\)

\({\huge\llcorner}BAC = \dfrac{\overset{\huge\smile}{BD} - \overset{\huge\smile}{BC}}{2}\)

\({\huge\llcorner}BAC = \dfrac{\overset{\huge\smile}{DF} - \overset{\huge\smile}{BC}}{2}\)

\({\huge\llcorner}BAC = \dfrac{\overset{\huge\smile}{BDC} - \overset{\huge\smile}{BC}}{2}\)

\(\alpha = \dfrac{\overset{\huge\smile}{AC} + \overset{\huge\smile}{DF}}{2}\)

\(R=2r\)
\(R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}\) \(R = \dfrac{a^3}{4S}\)
\(r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}\) \(r = \dfrac{2S}{P}\)

\(R = \dfrac{a}{\sqrt{2}}\)
\(r = \dfrac{a}{2}\)

ვექტორები

● ვექტორების სკალარული ნამრავლი:
\(|\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\alpha}\)
\(x_1 x_2 + y_1 y_2\)

● ვექტორის სიგრძე:
\(\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)

● ორ ვექტორს შორის მანძილის გამოსათვლელი ფორმულა:
\(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\)

● ვექტორების ჯამი/სხვაობა:
\(\vec{a} = (x_1; y_1) \vec{b} = (x_2; y_2)\)
\(\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)\)
\(\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)\)

● მოცემული წერტილებიდან ვექტორის კოორდინატების დადგენა:
\(A(x_1; y_1) B(x_2; y_2)\)
\(\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)\)
\(\vec{BA} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)\)